ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

1.3. Кинематика вращательного движения твердого тела

      Как уже отмечалось, вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.
      Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.6). Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени Δt зададим углом Δφ.
      Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:




                                                                                   (1.18)

      Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).
      Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const, то вращение называется равномерным.
      Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью υ произвольной точки А. Пусть за время Δt точка проходит по дуге окружности длину пути Δs. Тогда линейная скорость точки будет равна:

                   (1.19)

      При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:


      Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:


откуда

      Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

                                                                                                             (1.20)


      При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.7); при ускоренном движении вектор ε направлен в ту же сторону, что и ω (dω/dt > 0), и в противоположную сторону при замедленном вращении (dω/dt < 0).
      Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки A вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

                   (1.21)

                                           (1.22)

      В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=const):


где ω0 - начальная угловая скорость.
      Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.
      Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1



       Краткие выводы
  • Часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение, называется механикой. Классическая механика (механика Ньютона-Галилея) изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме.
  • Кинематика – раздел механики, предметом изучения которого является движение тел без рассмотрения причин, которыми это движение обусловлено.
  • В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач используются различные физические модели: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело.
  • Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и синхронизированных между собой часов называется системой отсчета.
  • Вектор Δr=r-r0, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени называется вектором перемещения. Линия, описываемая движущейся материальной точкой (телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией движения. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени, называется длиной пути.
  • Скорость – это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту движения и его направление в данный момент времени. Мгновенная скорость определяется первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени:


    Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости материальной точки равен первой производной длины ее пути по времени:


  • Ускорение – векторная физическая величина для характеристики неравномерного движения. Она определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени:


    Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по величине (направлена по касательной к траектории движения):


    Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории):


    Полное ускорение при криволинейном движении – геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:


  • Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по времени, называется угловой скоростью:


    Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.
  • При равномерном вращении время, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом вращения:


    Частота вращения – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени:


  • Угловое ускорение – это векторная физическая величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:


    При ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси вектор ε сонаправлен векторуω, при замедленном – противонаправлен ему.
  • Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение aτ, нормальное ускорение an) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:










      Вопросы для самоконтроля и повторения
  1. Что является предметом изучения механики? Какова структура механики?
  2. Что такое физическая модель? Какие физические модели использует механика для описания движения материальных объектов?
  3. Что представляет собой система отсчета? Что называется вектором перемещения?
  4. Какое движение называется поступательным? Вращательным?
  5. Что характеризуют скорость и ускорение? Дайте определения средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.
  6. Составьте уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально со скоростью v0 с некоторой высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.
  7. Что характеризуют тангенциальная и нормальная составляющие ускорения? Каковы их модули?
  8. Как можно классифицировать движение в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения?
  9. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением? Как определяются их направления?
  10. Какими формулами связаны между собой линейные и угловые характеристики движения?

      Примеры решения задач

      Задача 1. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета (рис. 1.8).
      Дано: h = 1/4s.
      Найти: α.
Решение
      Составляющие начальной скорости тела v0x = v0cosα, v0y = v0sinα;


      Ответ: α=450.

      Задача 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой φ = 10 + 20t - 2t2. Найти величину полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени t=4 с (рис. 1.9).
      Дано: φ = 10 + 20t - 2t2; R=0,1 м; t=4 с.
      Найти: a.

Решение


            

      Ответ: а = 1,65 м/с2.


      Задачи для самостоятельного решения
  1. Движения двух материальных точек описываются следующими уравнениями: x1 = 20 + 2t - 4t2 и x2 = 2 + 2t + 0,5t2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?
  2. С высоты 1000 м падает тело без начальной скорости. Одновременно с высоты 1100 м падает другое тело с некоторой начальной скоростью. Оба тела достигают земли в один и тот же момент времени. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти начальную скорость второго тела.
  3. Велосипедист проехал первую треть пути со скоростью 10 м/с, затем половину пути со скоростью 6 м/с и оставшуюся часть пути со скоростью 2 м/с. Чему равна средняя скорость велосипедиста?
  4. Мяч бросили со скоростью 10 м/с по углом 400 к горизонту. Не учитывая сопротивления воздуха, найти: а) на какую высоту поднимется мяч? б) на каком расстоянии от места бросания мяч упадет на землю? в) сколько времени мяч будет в движении?
  5. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. Не учитывая сопротивления воздуха, определить: а) с какой высоты брошен камень? б) чему равна начальная скорость камня? в) с какой скоростью камень упал на землю? г) какой угол составляет траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?
  6. Колесо радиусом R=0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω = 2At + 5Bt4, где А=2 рад/с2 и В=1 рад/с5. Определить полное ускорение точек обода колеса через t=1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.
  7. Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t=1 мин уменьшилась от 300 до 180 об/мин. Определить: а) угловое ускорение колеса; б) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.
  8. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = A + Bt + Ct2 + Dt3 (В = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: а) тангенциальное ускорение; б) нормальное ускорение; в) полное ускорение.
  9. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
  10. Колесо, вращаясь равноускоренно, спустя 1 мин после начала движения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.